Умножение матрицы 3 порядка на 2 порядка. Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения. Свойства умножения матриц

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения :

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ :

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.

Матрица определена как прямоугольная таблица , геометрически – это прямоугольник с размерами и . Две матрицы – два прямоугольника: с размерами и , с размерами и . При рассмотрении операции сложения матриц было обнаружено требование по согласованию размеров прямоугольников: =, =. Это требование обеспечивает взаимодействие матриц в системах векторов:

=
-
- …-
– цепочка строк,

=
-
- …-
– цепочка столбцов,

причём, если матрица представлена в схеме , то и матрица должна быть представлена в этой же схеме. Но, главное: матрицы взаимодействуют группами элементов – векторами!

Если определить операцию умножения матриц в виде: ·=, то возникает вопрос: сколько строк и столбцов имеет матрица ? Это определило всего две возможные схемы взаимодействия матриц при их перемножении:

1* : строка левой матрицы ↔ столбец правой матрицы,

2* : столбец левой матрицы ↔ строка правой матрицы.

Для схемы 1* : в матрице . Для схемы 2* : в матрице строк столько, сколько у матрицы , столбцов столько, сколько у матрицы .

В практике закрепилось использование схемы 1* , которую сокращённо называют правилом: строка – столбец .

Замечание : Из определения произведения матриц следует: элементравен скалярному произведению строки-матрицына столбец-матрицы.

Свойства операции умножения матрицы на матрицу :

1* .
≠
– не переместительна (не коммутативна);

2* .
=
=
– сочетательная (ассоциативная).

3* .
=
+
– распределительное (дистрибутивное).

Замечание : следует иметь в виду: в свойстве1* в общем случае может быть так, что матрица
существует, а матрица
не существует!

В связи с введением операции произведения матриц возникает вопрос: как нужно выполнить произведение матриц и , чтобы получилась матрица, транспонированная по отношению к матрице . Если обозначить транспонированные матрицы как:
,
и
, то верна следующая теорема.

1) Представим произведение матриц:
в виде схемы вычисления элемента матрицы :

2). Учитывая определение транспонирования матрицы, изобразим также равенство
=
в виде аналогичной схемы:

Видим: элемент матрицы
равен элементуматрицы С.◄

Замечание : Определение транспонирования матрицы и доказанная теорема о транспонировании произведения матриц будут неоднократно использоваться при рассмотрении определителей и матриц линейных преобразований в векторных пространствах.

Пример 4 –05 : Вычислить произведение матриц: C =A B =

.

Решение :

A иB :

C B ;

C B ;

Использование технологического шаблона в виде таблицы позволит отработать алгоритм вычисления произведения матриц и защитить от ошибок в вычислениях. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C : =
, =
.

Ответ: C =
.

Пример 4 –06 : Вычислить произведение матриц: C =A B =

.

Решение :

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;

C B ;

C :

=, =, =.

Ответ:=
.

Пример 4 –07 C =A B =

.

Решение :

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A иB :

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей размещаем столбец-1 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей размещаем столбец-2 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-3 матрицы C над матрицей размещаем столбец-3 матрицыB ;

▫ для вычисления столбца-4 матрицы C над матрицей размещаем столбец-4 матрицыB .

(продолжение таблицы).

Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C :

=, =,

=, =.

Ответ: C =
.

Пример 4 –08 :Вычислить: C =
, еслиA =
.

Решение :

1) Запишем цепочку строк-векторов матрицы A :

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

и умножим её (скалярно) на столбец- матрицы A : (0,0, 0, ... , , ...,0). Легко видеть, что в матрице C =
=
столбец- примет вид (0,0, 0, ... , , ...,0). Это значит, что цепочка строк-векторов матрицы C =
примет вид:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Если теперь вычислить C =
=
, то цепочка строк-векторов матрицы C =
примет вид:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Применяя метод математической индукции, для матрицы C =
можем записать:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Ответ: C =
.

Пример 4 –09 : Доказать, что если матрицыA иB – квадратные, причём
≠
, то всегда справедливы утверждения: а);

Решение :

1) Учитывая распределительное свойство умножения матриц:
=
+
, запишем:

.

2) Учитывая распределительное свойство умножения матриц:
=
+
, запишем:

.

Ответ: доказано.

Пример 4 –10 : Найти все матрицы, перестановочные с матрицей:=.

Решение :

1) Пусть имеем матрицу: , такую, что
=
. Учитывая правило умножения матриц, легко заметить, что умножение этих матриц возможно только в случае, если матрица - квадратная, причём той же размерности, что матрица .

2) Примем: =
, и запишем выражение
=
:

C =A B .

Из таблицы видим ответ.

3) Запишем теперь выражение
=
:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D =B A .

Из таблицы видим ответ.

4) Воспользуемся равенством:
→ получаем уравнения для вычисления матрицы :

3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e = a+ 3b → e = a ; 3 e + h = d+ 3e → h =0;

3 h = g+ 3h → h = h ; 3 c + f = b+ 3c → f = b ; 3 f + k = e+ 3f → k = e ; 3 k = h+ 3k → h =0.

5) Используя полученные уравнения, можем записать: =
.

Ответ: =
.

Пример 4 –11 :Доказать, что матрица: =
удовлетворяет уравнению:–(a +d ) x +ad –
=0.

Решение :

Замечание : рассматриваемый пример интересен тем, что он демонстрирует участие в матричном выражениискалярной матрицы:
=
.

1) Вычислим:
=

=
;
=
.

2) Подставим в уравнение матрицу : , или:

–
+
=
.

Ответ: доказано.

Пример 4 –12 :Вычислить произведение матриц: A = (4 0 -2 3 1) и B =: а)AB ; б) BA .

Замечание : рассматриваемый пример интересен тем, что он предельновыразительно демонстрирует неравенство :
.

Решение:

а)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – матрица с одним элементом;

б)
=
=
.

Ответ: матрицы в тексте.

Это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.

Произведением матрицы A m × n на матрицу B n × k будет матрица C m × k такая, что элемент матрицы C , находящийся в i -ой строке и j -ом столбце, то есть элемент c ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы B .

Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

m = n , значит, умножать данные матрицы можно.

Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.

m ≠ n , таким образом, выполнять умножение нельзя:

Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы , умножение которых заведомо невозможно.

Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN , так и умножение NM.

Это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.

Начнем с самого простого примера:

Необходимо умножить на . Первым делом приведем формулу для данного случая:

- здесь хорошо прослеживается закономерность.

Умножить на .

Формула для этого случая: .

Умножение матриц и результат:

В результате получена т.н. нулевая матрица.

Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM . Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.

Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:

Умножить на .

Формула очень похожа на прошлые:

Решение матрицы: .

Это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.

Пример умножения матрицы на число:

Тут все понятно - для того, чтобы умножить матрицу на число , необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. В данном случае - на 3.

Еще один полезный пример:

- умножение матрицы на дробное число.

Первым делом покажем то, чего делать не надо:

При умножении матрицы на дробное число не нужно вносить дробь в матрицу, так как это в первую очередь только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем.

И, тем более, не нужно делить каждый элемент матрицы на -7:

.

Что стоит сделать в данном случае - это внести минус в матрицу:

.

Если бы у вас был пример, когда все элементы матрицы делились бы на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Размер матрицы определяется её порядками - количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы - элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов - порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.

Замечание 1

Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца - вторым, то есть запись $a_{ij}$ обозначает, что элемент стоит в $i$-ой строчке и в $j$-ом столбце.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера .

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Пример 1

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно:

$A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Умножение матрицы на число

Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_{ij}=λ \cdot a_{ij}$.

Пример 2

Умножьте $A$ на $λ$, где $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$, а $λ=5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end{pmatrix}$.

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

$A_{m \times n}\cdot B_{n \times p} = С_{m \times p}$

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_{3 \times 2}$ и $B_{2 \times 3}$ - полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{22}b_{23}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}) & (a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23}) \\ \end{pmatrix}$

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

Пример 3

Решите пример:

$A \times B = ?$, если $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.

$A \times B = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end{pmatrix} $

$A \times B= \begin{pmatrix} (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end{pmatrix}$.

Нахождение определителя матрицы

Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $\det$.

Замечание 2

Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.

В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_{11}|= a_{11}$

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

Определение 1

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

$\begin{array}{|cc|} a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} = a_{11} \cdot a_{22} – a_{12} \cdot a_{21}$

В случае если определитель матрицы задан размером $3 \times 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^{-1}$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы - Жордана-Гаусса . Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Пример 4

Дана $A=\begin{pmatrix}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$

Получить обратную матрицу.

Решение:

Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}$

Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Делим вторую на $-2$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$

Получили результат:

$A=\begin{pmatrix}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование - это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Пример 5

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.