Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение «Ярковская средняя общеобразовательная школа»

Учебный проект

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

МАОУ «Ярковская СОШ»

Шанских Дарья

Руководитель: учитель математики

МАОУ «Ярковская СОШ»

Ярково 2013 г.

1) Введение………………………………………………………….2

2) Основная часть………………………………………………..3

3) Заключение……………………………………………………..9

4) Список использованной литературы…………….10

5) Приложения…………………………………………………11-12

1. Введение

Часто, при решении заданий ЕГЭ из части «С», а в особенности в заданиях С3, встречаются неравенства, содержащие логарифмические выражения с неизвестным в основании логарифма. Вот, например, стандартное неравенство:

Как правило, для решения подобных заданий используют классический метод, то есть применяется переход к равносильной совокупности систем

При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т. е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых каждое неравенство распадается еще на семь. Поэтому, можно предложить менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации, известный в математической литературе под названием декомпозиции .

При выполнении проекта мной поставлены следующие цели :

1) Овладеть данным приемом решения

2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из тренировочных и диагностических работ 2013 г.

Задачей проекта является изучение теоретического обоснования метода рационализации.

Актуальность работы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С3 ЕГЭ по математике.

2. Основная часть

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

font-size:14.0pt; line-height:150%">, (1)

где font-size:14.0pt;line-height:150%"> Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае , когда основания логарифмов удовлетворяют условию

font-size:14.0pt; line-height:150%">, знак неравенства обращается: font-size:14.0pt;line-height:150%">Во втором случае , когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

font-size:14.0pt;line-height:150%">равносильно следующей системе неравенств :

font-size:14.0pt; line-height:150%"> (2)

Доказательство .

1. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если font-size:14.0pt; line-height:150%">, то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство .

Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство font-size:14.0pt;line-height: 150%">. Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода.

Терема доказана.

Основные положения теории метода рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F (x ) на более простое выражение G (x ), при котором неравенство G (x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F (x )0 в области определения выражения F (x ).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализующие выражения G , где u , v , , p , q - выражения с двумя переменными (u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - фиксированное число (a > 0, a ≠ 1).

Доказательство

1. Пусть logav - logaφ > 0 , то есть logav > logaφ, причём a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Значит, выполняется система неравенств

a -1<0

v – φ < 0

Откуда следует неравенство (a – 1)( v – φ ) > 0 верное на области определения выражения F = logav - logaφ .

Если a > 1, то v > φ . Следовательно, имеет место неравенство ( a – 1)( v – φ )> 0. Обратно, если выполняется неравенство ( a – 1)( v – φ )> 0 на области допустимых значений ( a > 0, a ≠ 1, v > 0, φ > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Из каждой системы следует неравенство logav > logaφ , то есть logav - logaφ > 0.

Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем

logu v - loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u - 1)(φ – u ).

4.Из неравенства uv - uφ > 0 следует uv > uφ . Пусть число а > 1, тогда loga uv > logauφ или

( u – φ) loga u > 0.

Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p 2 > q 2

(| p | < | q | и p 2 < q 2 ).

Сравним объем решения неравенства, содержащих переменную в основании логарифма классическим методом и методом рационализации

3. Заключение

Считаю, что задачи, которые поставила перед собой при выполнении работы , достигнуты. Проект имеет практическое значение, так как предложенный в работе метод позволяет значительно упростить решение логарифмических неравенств. В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок «по невнимательности». Теперь при решении задач С3 я использую данный метод.

4. Список использованной литературы

1. , – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.

2. – Пособие по математике. – 1972.

3. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.

Ежова Елена Сергеевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "СОШ №77"
Населённый пункт: г.Саратов
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Метод рационализации при решении неравенств при подготовке к ЕГЭ"
Дата публикации: 16.05.2018
Раздел: полное образование

Очевидно, что одно и то же неравенство можно решить несколькими способами. Удачно

выбранным способом или, как мы привыкли говорить, рациональным способом любое

неравенство решится быстро и легко, решение его получится красивым и интересным.

Мне хочется более подробно рассмотреть так называемый метод рационализации при

решении логарифмических и показательных неравенств, а также неравенств, содержащих

переменную под знаком модуля.

Основная идея метода.

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ «

» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе

или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам

неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой

знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области

те же корни.

Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот

факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства

к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция f(x) есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для

любых значений t

) совпадает по

знаку с разностью (f(t

)), то есть, f <=> (t

(↔ означает знакосовпадение)

Утверждение 2. Функция f(x) есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для

любых значений t

из области определения функции разность (t

) совпадает по

знаку с разностью (f(t

)), то есть f ↓<=> (t

Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго

монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что

Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с

произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы,

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с

произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то

Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью

квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:

Решите неравенство

Решение.

Перейдем к равносильной системе:

Из первого неравенства получаем

Второе неравенство выполняется при всех

Из третьего неравенства получаем

Таким образом, множество решений исходного неравенства:

Решите неравенство

Решение.

Решим неравенство:

О т в е т: (−4; −3)

Решить неравенство

Приведем неравенство к виду, в котором явно видна разность значений логарифмической

Заменим разность значений логарифмической функции на разность значений аргумента. В

числителе функция возрастающая, а в знаменателе убывающая, поэтому знак неравенства

изменится на противоположный. Важно не забыть учесть область определения

логарифмической функции, поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств.

Корни числителя: 8; 8;

Корень знаменателя: 1

Решить неравенство

Заменим в числителе разность модулей двух функций разностью их квадратов, а в

знаменателе разность значений логарифмической функции разностью аргументов.

В знаменателе функция убывающая, значит, знак неравенства изменится на

противоположный.

При этом надо учесть область определения логарифмической

Первое неравенство решим методом интервалов.

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Решить неравенство

Заменим в числителе и знаменателе разность значений монотонных функций разностью

значений аргументов, учитывая область определения функций и характер монотонности.

Корни числителя:

Корни знаменателя:

Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).

а) Замена знакопостоянных множителей.

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими

выражениями.

Решение. ОДЗ:

Замена множителей:

Имеем систему:

В этом неравенстве уже нельзя множители

рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 1

ОДЗ могут принимать как положительные так и отрицательные значения.

Имеем систему:

Замена множителей:

Имеем систему:

Замена множителей:

Имеем систему:

Замена множителей:

Имеем систему:

В итоге имеем: х

Метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены

функций , правило знаков) заключается в замене сложного выражения F(x) на более

простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)

0 равносильно неравенству F (x

0 в области определения выражения F(x).

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начнем разговор про рационализацию в неравенствах, поговорим о равносильности.

Равносильность

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.

Пример 1. Уравнения и равносильны, так как имеют одни и те же корни.

Пример 2. Уравнения и также равносильны, так как решением каждого из них является пустое множество.

Пример 3. Неравенства и равносильны, так как решением и того, и другого является множество .

Пример 4. и – неравносильны. Решение второго уравнения является только 4, а решением первого – и 4, и 2.

Пример 5. Неравенство равносильно неравенству , так как и в том, и в другом неравенствах – решение – это 6.

То есть по виду равносильные неравенства (уравнения) могут быть совсем далеки от сходства.

По сути, когда мы решаем сложные, длинные уравнения (неравенства), вроде этого , и получаем ответ , у нас ведь в руках оказывается ни что иное, как уравнение (неравенство), равносильное исходному. Вид разный, а суть одна!

Пример 6. Давайте вспомним, как мы решали неравенство до знакомства с методом интервалов . Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

То есть неравенство и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

заменить ее неравенством , которое в два счета решается методом интервалов.

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Рассмотрим неравенство .

Представляем 4 в виде логарифма:

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стал нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с примером 6 мы данную совокупность систем заменим неравенством:

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства .

Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства:

Теперь решим

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Итак, вот она, эта «волшебная» таблица:

Заметим, таблица работает при условии

где – функции от ,

– функция или число,

– один из знаков

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы – следствия первой. Во второй строке 1 представлена прежде как , а в третьей – 0 представлен как .

И еще парочка полезных следствий (надеюсь, вам несложно понять откуда они вытекают):

где – функции от ,

– функция или число,

– один из знаков

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство .

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства

Ответ: .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

– функции от , – функция или число, – один из знаков Таблица работает при условии . Также в третьей, четвертой строках – дополнительно –

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка – частный случай третьей.

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа , где функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

Решим неравенство ” .

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

Разделы: Математика

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

• Образовательная : актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
• Развивающая : развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
• Воспитательная : воспитание аккуратности и самоконтроля.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

Решить неравенства:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а)

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g (x ) – h (x ) совпадает со знаком разности log f (x ) g (x ) – log f (x ) h (x ) в случае возрастающей функции (f (x ) > 1, т.е. f (x ) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log f (x ) g (x ) – log f (x ) h (x ) в случае убывающей функции (0 < f (x ) < 1, т.е. f (x ) – 1 < 0)

Следовательно, данную совокупность можно свести к системе рациональных неравенств:

В этом и заключается суть метода рационализации – заменить более сложное выражение А на более простое выражение В, являющееся рациональным. При этом неравенство В V 0 будет равносильно неравенству А V 0 на области определения выражения А.

Пример 1. Перепишем неравенство в виде равносильной системы рациональных неравенств.

Замечу, что условия (1)–(4) являются условиями области определения неравенства, которую я рекомендую найти в начале решения.

Пример 2. Решить неравенство методом рационализации:

Область определения неравенства задается условиями:

Получим:

Осталось записать неравенство (5)

С учетом области определения

Ответ: (3; 5)

5. Закрепление изученного материала

I. Запишите неравенство в виде системы рациональных неравенств:

II. Представьте правую часть неравенства в виде логарифма по нужному основанию и перейдите к равносильной системе:

Учитель вызывает к доске учащихся, записавших системы из группы I и II, и предлагает одному из наиболее сильных учащихся решить домашнее неравенство (№11.81*а) методом рационализации.

6. Проверочная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. Записать систему рациональных неравенств для решения неравенств:

2. Решить неравенство методом рационализации

Критерии выставления оценок:

3-4 балла – «удовлетворительно»;
5-6 баллов – «хорошо»;
7 баллов – «отлично».

7. Рефлексия

Ответьте на вопрос: какой из известных вам методов решения логарифмических неравенств с переменным основанием позволит вам рациональнее использовать время на экзамене?

8. Домашнее задание: №№11.80* (а,б), 11.81*(а,б), 11.84*(а,б) решить методом рационализации.

Список используемой литературы:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 11 кл. общеобразоват. Учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.
2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев . Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

Разделы: Математика

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.

Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. , где .

Примечание: если непрерывная убывающая функция на множестве X, то .

Вернемся к неравенству . Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).

Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций и в знаменателе . Таким образом, верно

В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.

Пример 1.

Сравнивая с (1) находим , , .

Переходя к (2) будем иметь:

Пример 2.

Сравнивая с (1) находим , , .

Переходя к (2) будем иметь:

Пример 3.

Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при и , то ответом будет множество .

Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.

Пусть на множестве X определены функции , , , и на этом множестве знаки и совпадают, т.е. , тогда будет справедливо .

Пример 4.

Пример 5.

При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.

Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.

Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.

Пример 6.

Пример 7.

. Обозначим . Получим

. Заметим, что из замены следует: . Возвращаясь к уравнению, получим .

Пример 8.

В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Несколько следующих примеров продемонстрируют перспективность метода при решении других видов неравенств.