Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
Свойства параллелограмма:
Теорема 22.
Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠
САВ=∠
АСD, ∠
АСВ=∠
DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23.
Противоположные углы параллелограмма равны: ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25.
Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠
ОАD=∠
ОСВ и ∠
ОDА=∠
ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.
Признаки параллелограмма
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D. Т.к. ∠
А+∠
В+∠
С+∠
D=360 о, то ∠
А+∠
В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29.
Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30.
Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.
В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма.
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
На рисунке 1 изображен параллелограмм $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.
Свойства параллелограмма
- В параллелограмме противоположные стороны равны: $A B=C D, B C=A D$ (рис 1).
- В параллелограмме противоположные углы равны $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (рис 1).
- Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам $A O=O C, B O=O D$ (рис 1).
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $\angle K B H=\angle A$.
- Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
- Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна $180^{\circ}$:
$$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle B+\angle C=180^{\circ}$$
$$\angle C+\angle D=180^{\circ}, \angle D+\angle A=180^{\circ}$$
Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:
$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2 a^{2}+2 b^{2}$$
Признаки параллелограмма
Четырехугольник $ABCD$ будет параллелограммом, если
- $A B=C D$ и $A B \| C D$
- $A B=C D$ и $B C=A D$
- $A O=O C$ и $B O=O D$
- $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$
Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:
$S=a \cdot h_{a}, \quad S=b \cdot h_{b}$
$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin \phi$
Примеры решения задач
Пример
Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна $140^{\circ}$. Найти больший угол параллелограмма.
Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма $\alpha$, а меньший угол $\beta$. Сумма углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^{\circ}$, поэтому заданная сумма, равная $140^{\circ}$, это сумма двух противоположных углов, тогда $140^{\circ} : 2=70^{\circ}$. Таким образом меньший угол $\beta=70^{\circ}$. Больший угол $\alpha$ найдем из соотношения:
$\alpha+\beta=180^{\circ} \Rightarrow \alpha=180^{\circ}-\beta \Rightarrow$
$\Rightarrow \alpha=180^{\circ}-70^{\circ} \Rightarrow \alpha=110^{\circ}$
Ответ. $\alpha=110^{\circ}$
Пример
Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)
По условию, $a=15$ см, $b=18$ см, $h_{a}=6$ см. Для параллелограмма справедливы следующие формулы для нахождения площади:
$$S=a \cdot h_{a}, \quad S=b \cdot h_{b}$$
Приравняем правые части этих равенств, и выразим, из полученного равенства, $h_{b} $:
$$a \cdot h_{a}=b \cdot h_{b} \Rightarrow h_{b}=\frac{a \cdot h_{a}}{b}$$
Подставляя исходные данные задачи, окончательно получим:
$h_{b}=\frac{15 \cdot 6}{18} \Rightarrow h_{b}=5$ (см)
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
Тема урока
- Свойство диагоналей параллелограмма.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Параллелограмм, его свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Самостоятельная проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Свойство противолежащих сторон параллелограмма
У параллелограмма противолежащие стороны равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.
Свойство противолежащих углов параллелограмма
У параллелограмма противолежащие углы равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Свойство диагоналей параллелограмма
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO.
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.
Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.
О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.
Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.
Вопросы
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
- Диагонали параллелограмма равны?
- Противолежащие углы параллелограмма равны?
- Сформулируйте определение параллелограмма?
- Сколько признаков параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограмом?
Список использованных источников
- Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
- «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
- Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А. В.
Потурнак С.А.
Евгений Петров
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.