Линейная функция. Теория. Разбор задач. Линейная функция и её график Линейная функция, её свойства и график

С чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} - вещественные числа, то графиком линейной функции в (n + 1) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

  в частности при n = 1 {\displaystyle n=1} - прямая линия на плоскости.

  Абстрактная алгебра

  Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f: X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

  причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма - также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

  Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

  Сбор и использование персональной информации

  Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

  От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

  Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

  Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

  Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

  Раскрытие информации третьим лицам

  Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

  Защита персональной информации

  Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

  Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

  Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

  Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.

  Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).

  Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

  1. Аналитический.

  Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

  2. Табличный способ задания функции.

  Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

  3. Графический способ задания функции.

  Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

  Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

  1)Область определения функции.

  Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

  2) Промежутки возрастания и убывания функции.

  Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

  Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

  3) Нули функции.

  Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

  4)Чётность и нечётность функции.

  Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

  
  
  

  у(-х) = у(х).

  График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

  Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения

  у(-х) = -у(х).

  График чётной функции симметричен относительно начала координат.

  Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

  5)Периодичность функции.

  Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

  у(х + Р) = у(х).

  
  

  Линейная функция, её свойства и график.

  Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.

  k – угловой коэффициент (действительное число)

  b – свободный член (действительное число)

  x – независимая переменная.

  · В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

  · Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

  o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

  o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

  Свойства линейной функции:

  1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

  2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.

  Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

  3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

  a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

  b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

  d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

  4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

  5) Точки пересечения с осями координат:

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

  Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

  Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

  6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

  y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

  b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

  y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

  k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

  k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

  k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.

  Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы .

  График можно строить по следующей схеме: 1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0). 2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a. 3) Соединяем обозначены точки плавной линией. Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3. Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1. Свойства функции.

  Определение линейной функции

  Введем определение линейной функции

  Определение

  Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

  График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

  При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

  Рассмотрим рисунок 1.

  Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

  Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

  \ \

  Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

  \[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

  С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

  Таким образом, можно сделать следующий вывод:

  Вывод

  Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

  Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

  Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

  1. $f"\left(x\right)={\left(kx+b\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
  2. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
  3. График (рис. 2).

  

  Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

  Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

  1. Область определения -- все числа.
  2. Область значения -- все числа.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

  Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
  2. $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
  3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
  4. График (рис. 3).