Конспект урока на тему «Тригонометрические выражения и их преобразования. Урок "упрощение тригонометрических выражений" Решение тригонометрических выражений с подробным решением

Видеоурок «Упрощение тригонометрических выражений» предназначен для формирования навыков у учеников в решении тригонометрических задач с использованием основных тригонометрических тождеств. В ходе видеоурока рассматриваются виды тригонометрических тождеств, примеры решения задач с их использованием. Применяя наглядное пособие, учителю легче достичь целей урока. Яркое представление материала способствует запоминанию важных моментов. Использование анимационных эффектов и озвучивание позволяют полностью заменить учителя на этапе объяснения материала. Таким образом, применяя данное наглядное пособие на уроках математики, учитель может повысить эффективность обучения.

В начале видеоурока объявляется его тема. Затем напоминаются тригонометрические тождества, изученные ранее. На экране отображаются равенства sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, где t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t=cos t/sin t, верное для t≠πk, где kϵZ, tg t· ctg t=1, при t≠πk/2, где kϵZ, названные основными тригонометрическими тождествами. Отмечается, что данные тождества часто применяются в решении задач, где необходимо доказать равенство или упростить выражение.

Дальее рассматриваются примеры применения данных тождеств в решении задач. Сначала предлагается рассмотреть решение задач по упрощению выражений. В примере 1 необходимо упростить выражение cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Чтобы решить пример, сначала выносится за скобки общий множитель cos 2 t. В результате такого преобразования в скобках получается выражение 1- cos 2 t, значение которого из основного тождества тригонометрии равно sin 2 t. После преобразования выражения очевидна возможность выведения за скобки еще одного общего множителя sin 2 t, после чего выражение приобретает вид sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Из того же основного тождества выводим значение выражения в скобках, равное 1. В результате упрощения получаем cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

В примере 2 также выражение cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) нужно упростить. Так как в числителях обеих дробей находится выражение cost, его можно вывести за скобки как общий множитель. Затем дроби в скобках приводятся к общему знаменателю перемножением (1- sint)(1+ sint). После приведения подобных слагаемых в числителе остается 2, а в знаменателе 1- sin 2 t. В правой части экрана напоминается основное тригонометрическое тождество sin 2 t+cos 2 t=1. Используя его, находим знаменатель дроби cos 2 t. После сокращения дроби получим упрощенный вид выражения cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Далее рассматриваются примеры доказательства тождеств, в которых применяются полученные знания об основных тождествах тригонометрии. В примере 3 необходимо доказать тождество (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. В правой части экрана отображены три тождества, которые понадобятся для доказательства - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t и tg t=sin t/cos t с ограничениями. Чтобы доказать тождество, сначала раскрываются скобки, после чего образуется произведение, отражающее выражение основного тригонометрического тождества tg t·ctg t=1. Затем, согласно тождеству из определения котангенса, преобразуется ctg 2 t. В результате преобразований получается выражение 1-cos 2 t. Пользуясь основным тождеством, находим значение выражения. Таким образом, доказано, что (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

В примере 4 необходимо найти значение выражения tg 2 t+ctg 2 t, если tg t+ctg t=6. Чтобы вычислить выражение, сначала возводится в квадрат правая и левая части равенства (tg t+ctg t) 2 =6 2 . Формула сокращенного умножения напоминается в правой части экрана. После раскрытия скобок в левой части выражения образуется сумма tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, для преобразования которой можно применить одно из тригонометрических тождеств tg t·ctg t=1, вид которого напоминается в правой части экрана. После преобразования получается равенство tg 2 t+ctg 2 t=34. Левая часть равенства совпадает с условием задачи, поэтому ответ 34. Задача решена.

Видеоурок «Упрощение тригонометрических выражений» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке математики. Также материал будет полезен учителю, осуществляющему дистанционное обучение. С целью формирования навыка в решении тригонометрических задач.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

«Упрощение тригонометрических выражений».

Равенства

1)sin 2 t + cos 2 t = 1(синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tgt =, при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctgt = , при t ≠ πk, kϵZ(котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

называют основными тригонометрическими тождествами.

Часто они используются при упрощении и доказательстве тригонометрических выражений.

Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 1.Упростить выражение: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t . (выражение а косинус квадрат тэ минус косинус четвертой степени тэ плюс синус четвертой степени тэ).

Решение. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t·1= sin 2 t

(вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно по первому тождеству квадрату синуса тэ. Получим сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ. общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому тождеству равно единице. В итоге получим квадрат синуса тэ).

ПРИМЕР 2.Упростить выражение: + .

(выражение бэ сумма двух дробей в числителе первой косинус тэ в знаменателе единица минус синус тэ, в числителе второй косинус тэ в знаменателе второй единица плюс синус тэ).

(Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.

В числителе получим: единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен двум после приведения подобных.

В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству

равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ: два деленное на косинус тэ).

Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 3. Доказать тождество (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (произведение разности квадратов тангенса тэ и синуса тэ на квадрат котангенса тэ равно квадрату синуса тэ).

Доказательство.

Преобразуем левую часть равенства:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Раскроем скобки, из ранее полученного соотношения известно, что произведение квадратов тангенса тэ на котангенс тэ равно единице. Вспомним, что котангенс тэ равен отношению косинуса тэ на синус тэ, значит, квадрат котангенса это отношение квадрата косинуса тэ на квадрат синуса тэ.

После сокращения на синус квадрат тэ получим разность единицы и косинуса квадрата тэ, что равно синусу квадрату тэ). Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg 2 t + ctg 2 t ,если tgt + ctgt = 6.

(сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).

Решение. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате). Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Получим tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),

В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2)) 2

Решение.

Из формул приведения следует:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Ответ: 1.

Пример 2.

Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Решение.

Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем

М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).

Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3 .

Показать, что выражение А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.

Решение.

Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

4sin 2 x · sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что

А(х) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Ответ: А = 3/4 для x € R.

Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.

Пример 5.

Доказать, что sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, если α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника.

Решение.

Учитывая, что α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника, получаем, что

α + β + γ = π и, значит, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

1/2 · (1 – сos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Исходное равенство доказано.

Пример 6.

Доказать, что для того, чтобы один из углов α, β, γ треугольника был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условие данной задачи предполагает доказательство как необходимости, так и достаточности.

Вначале докажем необходимость .

Можно показать, что

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Отсюда, учитывая, что cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, получаем, что если один из углов α, β или γ равен 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 и, значит, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Докажем теперь достаточность указанного условия.

Если sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, и поэтому

либо cos (3α/2) = 0, либо cos (3β/2) = 0, либо cos (3γ/2) = 0.

Следовательно,

либо 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3,

либо 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,

либо 3γ/2 = π/2 + πk,

т.е. γ = π/3 + 2πk/3, где k ϵ Z.

Из того, что α, β, γ – это углы треугольника, имеем

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Поэтому для α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или

γ = π/3 + 2πk/3 из всех kϵZ подходит только k = 0.

Откуда следует, что либо α = π/3 = 60°, либо β = π/3 = 60°, либо γ = π/3 = 60°.

Утверждение доказано.

Остались вопросы? Не знаете, как упрощать тригонометрические выражения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разделы: Математика

Класс: 11

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.

Оборудование к уроку:

Структура урока:

Оргмомент
Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
Упрощение тригонометрических выражений
Решение простейших тригонометрических уравнений
Самостоятельная работа.
Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока, напоминает о том, что ранее было дано задание повторить формулы тригонометрии и настраивает учащихся на тестирование.

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Цель – проверить знание тригонометрических формул и умение их применять. У каждого ученика на парте ноутбук в котором вариант теста.

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

Упростить выражения:

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формулы сложения

3. sin5x - sin3x;

в) преобразование произведения в сумму

6. 2sin8y cos3y;

г) формулы двойных углов

7. 2sin5x cos5x;

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

16. cos 2 (3x/7);

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

Также после окончания работы показываются на ноутбуках учащихся правильные ответы. Каждый ученик видит, где сделана ошибка, и какие формулы ему нужно повторить.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

На данном этапе класс целесообразно разбить на группы сильных (работают самостоятельно с последующей проверкой) и слабых учеников, которые работают с учителем.

Задание для сильных учащихся (заранее подготовлены на печатной основе). Основной упор сделан на формулы приведения и двойного угла, согласно ЕГЭ 2011.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Параллельно учитель работает со слабыми учащимися, обсуждая и решая под диктовку учеников задания на экране.

Вычислить:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Упростить:

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

На экране появляются ответы, а также, с помощью видеокамеры выводятся работы 5-ти разных учеников (по одному заданию у каждого).

Слабая группа видит условие и метод решения. Идет обсуждение и анализ. С использованием технических средств это происходит быстро.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.

Решить уравнения:

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем, ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

Вариант на «3»

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решить уравнение

Вариант на «4»

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

Вариант на «5»

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной проверкой на следующем уроке.

Решить уравнения:

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

Оргмомент
Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений
Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
Самостоятельная работа.
Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

Цель – проверить выполнение. Одна работа с помощью видео камеры выдается на экран, остальные выборочно собираются на проверку учителя.

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки, указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают. Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:

замена переменной,
разложение на множители,
однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
по формулам понижения степени,
универсальная тригонометрическая подстановка
введение вспомогательного угла,
умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Ученик диктует решение, учитель записывает на планшет, весь процесс отображается на экране. Это позволит быстро и эффективно восстановить в памяти ранее пройденный материал.

Решить уравнения:

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому, прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества π + 2πn, n Z конями данного уравнения.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на задания второй части (С1,С2,С3).

Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.

Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и т.д.

Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ находятся во второй части, а именно С1.

Решить уравнение:

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

Рисунок 1.

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при этом, не теряет смысла. Тогда

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

Воронкова Ольга Ивановна

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа

№ 18»

г. Энгельса Саратовской области.

Учитель математики.

«Тригонометрические выражения и их преобразования»

Введение …………………………………………………………………………....3

Глава 1 Классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений ………………………….……………………...5

1.1. Задания на вычисление значений тригонометрических выражений……….5

1.2. Задания на упрощение тригонометрических выражений.... 7

1.3. Задания на преобразование числовых тригонометрических выражений…..7

1.4 Задания смешанного типа…………………………………………………….....9

Глава 2. Методические аспекты организация итогового повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений»……………………………11

2.1 Тематическое повторение в 10 классе………………………………………...11

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Итоговое повторение в 11 классе……………………………………………...15

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Заключение.…………………………………………………………………….......19

Список использованной литературы………………………………………..…….20

Введение .

В сегодняшних условиях наиболее главным является вопрос: «Как мы можем помочь устранить некоторые пробелы в знаниях обучающихся и предостеречь их от возможных ошибок на ЕГЭ?» Для решения этого вопроса надо добиваться от учащихся не формального усвоения программного материала, а его глубокого и осознанного понимания, развития скорости устных вычислений и преобразований, а также развития навыков решения простейших задач «в уме». Необходимо убеждать учеников в том, что лишь при наличии активной позиции, при изучении математики, при условии обретения практических умений, навыков и их использования, можно рассчитывать на реальный успех. Нужно использовать любую возможность для подготовки к ЕГЭ, в том числе и элективные предметы в 10-11-х классах, регулярно проводить разбор сложных заданий с обучающимися, выбирая самый рациональный способ решения на уроках и дополнительных занятиях. Положительный результат в области решения типовых задач может быть достигнут, если учителя математики, будут, создавая хорошую базовую подготовку обучающихся, искать новые пути в решении открывшихся перед нами проблем, активно экспериментировать, применять современные педагогические технологии, методы, приёмы, создающие благоприятные условия для эффективной самореализации и самоопределения обучающихся в новых социальных условиях.

Тригонометрия – составная часть школьного курса математики. Хорошие знания и прочные навыки по тригонометрии являются свидетельством достаточного уровня математической культуры, непременным условием успешного изучения в вузе математики, физики, ряда технических дисциплин.

Актуальность работы . Значительная часть выпускников школ показывает из года в год весьма слабую подготовку по этому важному разделу математики, о чём свидетельствуют результаты прошлых лет (процент выполнения 2011- 48,41%, 2012-51,05%), так как анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания. В Едином государственном экзамене вопросы по тригонометрии встречаются почти в трех видах заданий. Это и решение простейших тригонометрических уравнений в задании В5, и работа с тригонометрическими выражениями в задании В7, и исследование тригонометрических функций в задании В14, а так же задания В12, в которых имеются формулы, описывающие физические явления и содержащие тригонометрические функции. И это – только часть заданий В! А ведь ещё есть и любимые тригонометрические уравнения с отбором корней С1, и «не очень любимые» геометрические задания С2 и С4.

Цель работы . Проанализировать материал ЕГЭ заданий В7, посвященных преобразованиям тригонометрических выражений и проклассифицировать задания по форме подачи их в тестах.

Работа состоит из двух глав, введения и заключения. Во введении подчеркнута актуальность работы. В первой главе приведена классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений в тестовых заданиях ЕГЭ (2012 г).

Во второй главе рассмотрена организация повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10, 11 классах и разработаны тесты по данной теме.

Список литературы включает 17 источников.

Глава 1. Классификация заданий на использование преобразований тригонометрических выражений.

В соответствии со стандартом среднего (полного) образования и требованиями к уровню подготовки учащихся в кодификатор требований включаются задания на знания основ тригонометрии.

Изучение основ тригонометрии будет наиболее эффективным, когда:

будет обеспечена положительная мотивация учащихся на повторение ранее изученного материала;

в учебном процессе будет реализован личностно-ориентированный подход;

будет применяться система задач, которая способствует расширению, углублению, систематизации знаний учащихся;

будут использоваться передовые педагогические технологии.

Проанализировав литературу и интернет-ресурсы по подготовке к ЕГЭ, нами предложена одна из возможных классификаций заданий В7 (КИМ ЕГЭ 2012-тригонометрия): задания на вычисление значений тригонометрических выражений; задания на преобразование числовых тригонометрических выражений; задания на преобразование буквенных тригонометрических выражений; задания смешанного типа.

1.1. Задания на вычисление значений тригонометрических выражений.

Одним из наиболее распространенных типов несложных задач по тригонометрии является вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них:

а) Использование основного тригонометрического тождества и его следствия.

Пример 1 . Найдите , если
и
.

Решение.
,
,

Т.к. , то
.

Ответ.

Пример 2 . Найдите
, если
и .

Решение.
,
,
.

Т.к. , то
.

Ответ. .

б) Использование формул двойного угла.

Пример 3 . Найдите
, если
.

Решение. , .

Ответ.
.

Пример 4 . Найдите значение выражения
.

Решение. .

Ответ.
.

1. Найдите , если

. Ответ. -0,2

2. Найдите , если
и
. Ответ. 0,4

3. Найдите

, если . Ответ. -12,88 4. Найдите

, если

. Ответ. -0,84 5. Найдите значение выражения:

. Ответ. 6 6. Найдите значение выражения

. Ответ. -19

1.2. Задания на упрощение тригонометрических выражений. Формулы приведения должны быть хорошо усвоены учащимися, так как они найдут дальнейшее применение на уроках геометрии, физики и других смежных дисциплин.

Пример 5 . Упростите выражения
.

Решение. .

Ответ.
.

Задания для самостоятельного решения:

1. Упростите выражение

. Ответ. 0,6 2. Найдите

, если

и . Ответ. 10,56 3. Найдите значение выражения

, если

. Ответ. 2

1.3. Задания на преобразование числовых тригонометрических выражений.

При отработке умений и навыков заданий на преобразование числовыхтригонометрических выражений, следует обратить внимание на знание таблицы значений тригонометрических функций, свойств четности и периодичности тригонометрических функций.

а) Использование точных значений тригонометрических функций для некоторых углов.

Пример 6 . Вычислите
.

Решение.
.

Ответ.
.

б) Использование свойств четности тригонометрических функций.

Пример 7 . Вычислите
.

Решение. .

Ответ.

в) Использование свойств периодичности тригонометрических функций.

Пример 8 . Найдите значение выражения
.

Решение. .

Ответ.
.

Задания для самостоятельного решения:

1. Найдите значение выражения

. Ответ. -40,5 2. Найдите значение выражения

. Ответ. 17

3. Найдите значение выражения
. Ответ. 6

. Ответ. -24

Ответ. -64

1.4 Задания смешанного типа.

Тестовая форма аттестации обладает весьма существенными особенностями, поэтому важно обращать внимание на задания связанные с применением нескольких тригонометрических формул одновременно.

Пример 9. Найдите
, если
.

Решение.
.

Ответ.
.

Пример 10 . Найдите
, если
и
.

Решение. .

Т.к. , то
.

Ответ.
.

Пример 11. Найдите
, если .

Решение. , ,
,
,
,
,
.

Ответ.

Пример 12. Вычислите
.

Решение. .

Ответ.
.

Пример 13. Найдите значение выражения
, если
.

Решение. .

Ответ.
.

Задания для самостоятельного решения:

1. Найдите

, если

. Ответ. -1,75
2. Найдите

, если

. Ответ. 3 3. Найдите

, если . Ответ. 0.25 4. Найдите значение выражения

, если

. Ответ. 0,3 5. Найдите значение выражения

, если

. Ответ. 5

Глава 2. Методические аспекты организация итогового повторения темы «Преобразование тригонометрических выражений».

Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала. Практика показывает, что в 10 классе целесообразней организовать тематическое повторение; в 11 классе - итоговое повторение.

2.1. Тематическое повторение в 10 классе.

В процессе работы над математическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе ее прохождения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определённую тему и предупреждаются, что будет проведена зачетная работа по тестам.

Тест по теме должен включать все ее основные вопросы. После выполнения работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

Для уроков тематического повторения нами предлагаются разработанные зачетные работы в виде тестов по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

Тест № 1

Тест № 2

Тест № 3

Таблица ответов

Тест

2.2. Итоговое повторение в 11 классе.

Итоговое повторение проводится на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляется в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом.

Итоговое повторение учебного материала преследует цели:

1. Активизация материала всего учебного курса для прояснения его логической структуры и выстраивания системы внутри предметных и меж предметных связей.

2. Углубление и по возможности расширение знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

В условиях обязательной для всех выпускников сдачи экзамена по математике, постепенное введение ЕГЭ заставляет учителя по-новому подходить к подготовке и проведению уроков, учитывая необходимость обеспечить овладение всеми школьниками учебного материала на базовом уровне, а также возможность мотивированным учащимся, заинтересованным в получении высоких баллов для поступления в вуз, динамичного продвижения в овладении материалом на повышенном и высоком уровне.

На уроках итогового повторения можно рассмотреть следующие задания:

Пример 1 . Вычислите значение выражения . Решение. =

= =

=0,5. Ответ. 0,5. Пример 2. Укажите наибольшее целое значение, которое может принимать выражение

Решение. Так как
может принимать любое значение, принадлежащее отрезку [–1; 1], то
принимает любое значение отрезка [–0,4; 0,4], поэтому . Целое значение выражения одно – число 4.

Ответ: 4 Пример 3 . Упростите выражение

Решение: Воспользуемся формулой разложения на множители суммы кубов: . Имеем

Имеем:
.

Ответ: 1

Пример 4. Вычислите
.

Решение. .

Ответ: 0,28

Для уроков итогового повторения нами предлагаются разработанные тесты по теме «Преобразование тригонометрических выражений».

Укажите наибольшее целое число, не превосходящее, 1

Заключение .

Проработав соответствующую методическую литературу по данной теме, можно сделать вывод о том, что умение и навыки решать задания, связанные с тригонометрическими преобразованиями в школьном курсе математики является очень важным.

В ходе проделанной работы проведена классификация заданий В7. Рассмотрены тригонометрические формулы наиболее часто применяемые в КИМах 2012 года. Приведены примеры заданий с решениями. Разработаны дифференцируемые тесты для организации повторения и систематизации знаний в рамках подготовки к ЕГЭ.

Целесообразно продолжить начатую работу, рассмотрев решение простейших тригонометрических уравнений в задании В5, исследование тригонометрических функций в задании В14, задания В12, в которых имеются формулы, описывающие физические явления и содержащие тригонометрические функции.

В заключение хотелось бы заметить, результативность сдачи ЕГЭ во многом определяется тем, насколько эффективно организован процесс подготовки на всех ступенях обучения, со всеми категориями обучающихся. А если мы сумеем сформировать у обучающихся самостоятельность, ответственность и готовность к продолжению обучения в течение всей последующей жизни, то мы не только выполним заказ государства и общества, но и повысим собственную самооценку.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения. Овладеть искусством организации повторения - такова задача учителя. От ее решения во многом зависит прочность знаний учащихся.

Литература.

Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. -М.: Наука, 1970.

Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособиедля 10-11 классов средней школы / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын,С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 1990.

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений (10-й класс) //Фестиваль педагогических идей. 2012-2013.

Корянов А.Г. , Прокофьев А.А. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.- 103 с.

Кузнецова Э.Н. Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений различными методами (подготовка к ЕГЭ). 11-й класс. 2012-2013.

Куланин Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике. 4-е ихд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000.

Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: -М. Просвещение, 1985г.

Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: -М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Начала математического анализа.Профильный уровень: учебник для 10 класса - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ.

Подготовка к ЕГЭ по математике "Ох, уж эта тригонометрия! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Проект "Математика? Легко!!!" http://www.resolventa.ru/

Разделы: Математика

Класс: 11

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.

Оборудование к уроку:

Структура урока:

Оргмомент
Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
Упрощение тригонометрических выражений
Решение простейших тригонометрических уравнений
Самостоятельная работа.
Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

Упростить выражения:

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формулы сложения

3. sin5x - sin3x;

в) преобразование произведения в сумму

6. 2sin8y cos3y;

г) формулы двойных углов

7. 2sin5x cos5x;

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

16. cos 2 (3x/7);

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Вычислить:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Упростить:

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

Решить уравнения:

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем, ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

Вариант на «3»

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решить уравнение

Вариант на «4»

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

Вариант на «5»

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Решить уравнения:

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

Оргмомент
Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений
Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
Самостоятельная работа.
Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки, указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

замена переменной,
разложение на множители,
однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
по формулам понижения степени,
универсальная тригонометрическая подстановка
введение вспомогательного угла,
умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Решить уравнения:

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Решить уравнение:

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

Рисунок 1.

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

Рисунок 2.

Переходим к системе:

В первом уравнении системы сделаем замену log 2 (sinx) = y, получим уравнение тогда , вернемся к системе

с помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 5),

Рисунок 5.

6. Самостоятельная работа (15 мин.)

Цель – закрепить и проверить усвоение материала, выявить ошибки, наметить пути их исправления.

Работа предлагается в трех вариантах, заготовленных заранее на печатной основе, на выбор учащихся.

Решать уравнения можно любым способом.

Вариант на «3»

Решить уравнения:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Вариант на «4»

Решить уравнения:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Вариант на «5»

Решить уравнения:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Итог урока, домашнее задание (5 мин.)

Учитель подводит итог урока, еще раз обращается внимание на то, что тригонометрическое уравнение можно решить несколькими способами. Самый лучший способ для достижения быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен конкретным учеником.

При подготовке к экзамену нужно систематически повторять формулы и методы решения уравнений.

Домашнее задание (приготовлено заранее на печатной основе) раздается и комментируются способы решений некоторых уравнений.

Решить уравнения:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0