Цели:
- Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
- Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
- Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики.
Ход урока
I. Вводная беседа:
Мы с вами закончили тему “Решение иррациональных уравнений” и сегодня начинаем учиться решать иррациональные неравенства.
Сначала давайте вспомним, какие виды неравенств вы умеете решать и какими методами?
Ответ : Линейные, квадратные, рациональные, тригонометрические. Линейные решаем, исходя из свойств неравенств, тригонометрические сводим к простейшим тригонометрическим, решаемым с помощью тригонометрического круга, а остальные, в основном, методом интервалов.
Вопрос : На каком утверждении основан метод интервалов?
Ответ : На теореме, утверждающей, что непрерывная функция, не обращающаяся в ноль на некотором интервале, сохраняет свой знак на этом интервале.
II. Давайте рассмотрим иррациональное неравенство типа >
Вопрос : Можно ли применить для его решения метод интервалов?
Ответ : Да, так как функция y = – непрерывна на D(y).
Решаем такое неравенство методом интервалов .
Вывод: мы довольно легко решили данное иррациональное неравенство методом интервалов, фактически сведя его к решению иррационального уравнения.
Давайте попробуем решить этим методом другое неравенство.
3) f(x) непрерывна на D(f)
4) Нули функции:
- Долго искать D(f).
- Трудно вычислять контрольные точки.
Возникает вопрос: “Нет ли других способов решения этого неравенства?”.
Очевидно, есть, и сейчас мы с вами с ними познакомимся.
III. Итак, тема сегодняшнего урока: “Методы решения иррациональных неравенств”.
Урок будет проходить в виде лекции, так как в учебнике нет подробного разбора всех методов. Поэтому наша важная задача: составить подробный конспект этой лекции.
IV. О первом методе решения иррациональных неравенств мы с вами уже поговорили.
Это – метод интервалов , универсальный метод решения всех типов неравенств. Но он не всегда приводит к цели коротким и простым путем.
V. При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.
Приведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.
2. Аналогично доказывается, что
Запишем эти схемы на опорной доске. Над доказательствами 3 и 4 типа подумайте дома, на следующем уроке мы их обсудим.
VI. Решим новым способом неравенство.
Исходное неравенство равносильно совокупности систем.
VII. И существует еще третий метод, часто помогающий решать сложные иррациональные неравенства. Мы с вами о нем уже говорили применительно к неравенствам с модулем. Это метод замены функций (замены множителей) . Напомню вам, что суть метода замены заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить разностью значений их аргументов.
Рассмотрим иррациональное неравенство вида <,
то есть – < 0.
По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b , причем a >b , то неравенства p(a) – p(b ) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p) , то есть
VIII. Решим методом замены множителей неравенство.
Значит, данное неравенство равносильно системе
Таким образом, мы увидели, что применение метода замены множителей для сведения решения неравенства к методу интервалов существенно сокращает объем работы.
IX. Теперь, когда мы разобрали три основных метода решения уравнений, давайте выполним самостоятельную работу с самопроверкой.
Нужно выполнить следующие номера (по учебнику А. М. Мордковича): 1790(а) – решить_ методом_ равносильныхпереходов,_ 1791(а) – решить методом замены множителей.Для решения иррациональных неравенств предлагается использовать способы, ранее разобранные при решении иррациональных уравнений:
- замена переменных;
- использование ОДЗ;
- использование свойств монотонности функций.
Завершением изучения темы является контрольная работа.
Анализ контрольной работы показывает:
- типичные ошибки слабых учащихся помимо арифметических и алгебраических – неверные равносильные переходы к системе неравенств;
- метод замены множителей успешно используется только сильными учащимися.
Цели:
- Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
- Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
- Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики.
Ход урока
I. Вводная беседа:
Мы с вами закончили тему “Решение иррациональных уравнений” и сегодня начинаем учиться решать иррациональные неравенства.
Сначала давайте вспомним, какие виды неравенств вы умеете решать и какими методами?
Ответ : Линейные, квадратные, рациональные, тригонометрические. Линейные решаем, исходя из свойств неравенств, тригонометрические сводим к простейшим тригонометрическим, решаемым с помощью тригонометрического круга, а остальные, в основном, методом интервалов.
Вопрос : На каком утверждении основан метод интервалов?
Ответ : На теореме, утверждающей, что непрерывная функция, не обращающаяся в ноль на некотором интервале, сохраняет свой знак на этом интервале.
II. Давайте рассмотрим иррациональное неравенство типа >
Вопрос : Можно ли применить для его решения метод интервалов?
Ответ : Да, так как функция y = – непрерывна на D(y).
Решаем такое неравенство методом интервалов .
Вывод: мы довольно легко решили данное иррациональное неравенство методом интервалов, фактически сведя его к решению иррационального уравнения.
Давайте попробуем решить этим методом другое неравенство.
3) f(x) непрерывна на D(f)
4) Нули функции:
- Долго искать D(f).
- Трудно вычислять контрольные точки.
Возникает вопрос: “Нет ли других способов решения этого неравенства?”.
Очевидно, есть, и сейчас мы с вами с ними познакомимся.
III. Итак, тема сегодняшнего урока: “Методы решения иррациональных неравенств”.
Урок будет проходить в виде лекции, так как в учебнике нет подробного разбора всех методов. Поэтому наша важная задача: составить подробный конспект этой лекции.
IV. О первом методе решения иррациональных неравенств мы с вами уже поговорили.
Это – метод интервалов , универсальный метод решения всех типов неравенств. Но он не всегда приводит к цели коротким и простым путем.
V. При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.
Приведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.
2. Аналогично доказывается, что
Запишем эти схемы на опорной доске. Над доказательствами 3 и 4 типа подумайте дома, на следующем уроке мы их обсудим.
VI. Решим новым способом неравенство.
Исходное неравенство равносильно совокупности систем.
VII. И существует еще третий метод, часто помогающий решать сложные иррациональные неравенства. Мы с вами о нем уже говорили применительно к неравенствам с модулем. Это метод замены функций (замены множителей) . Напомню вам, что суть метода замены заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить разностью значений их аргументов.
Рассмотрим иррациональное неравенство вида <,
то есть – < 0.
По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b , причем a >b , то неравенства p(a) – p(b ) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p) , то есть
VIII. Решим методом замены множителей неравенство.
Значит, данное неравенство равносильно системе
Таким образом, мы увидели, что применение метода замены множителей для сведения решения неравенства к методу интервалов существенно сокращает объем работы.
IX. Теперь, когда мы разобрали три основных метода решения уравнений, давайте выполним самостоятельную работу с самопроверкой.
Нужно выполнить следующие номера (по учебнику А. М. Мордковича): 1790(а) – решить_ методом_ равносильныхпереходов,_ 1791(а) – решить методом замены множителей.Для решения иррациональных неравенств предлагается использовать способы, ранее разобранные при решении иррациональных уравнений:
- замена переменных;
- использование ОДЗ;
- использование свойств монотонности функций.
Завершением изучения темы является контрольная работа.
Анализ контрольной работы показывает:
- типичные ошибки слабых учащихся помимо арифметических и алгебраических – неверные равносильные переходы к системе неравенств;
- метод замены множителей успешно используется только сильными учащимися.
В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.
Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.
Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.
Рассмотрим неравенство вида:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.
Итак, имеем следующую схему решения:
В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.
Пример 1 - решить неравенство:
Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:
Проиллюстрируем:
Рис. 1 - иллюстрация решения примера 1
Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:
В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.
Рассмотрим неравенство вида:
Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.
Имеем эквивалентную систему:
Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.
Пример 2 - решить неравенства графически:
а) 
б) 
Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.
Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.
Рис. 2. Графики функций и
Для построения графика функции необходимо преобразовать параболу в параболу (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.
График функции - это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у - (0;-1).
Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .
Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.
Имеем ответ:
Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.
Пример 3 - решить неравенства методом интервалов:
а)
б)
согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:
теперь необходимо изучить полученную функцию.
ОДЗ: 
Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.
Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:
Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3
Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.
Проверим значение в граничной точке:
Очевиден ответ:
Рассмотрим следующий тип неравенств:
Сначала запишем ОДЗ:
Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:
Получили эквивалентную систему:
Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем:: 
Пример 4 - решить неравенство:
Действуем по схеме - получаем эквивалентную систему.
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
- f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
- f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
- g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Примеры решения задач
Задача. Решите неравенство:
Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x
2 − 18x
+ 16 < (x
− 4) 2 ;
2x
2 − 18x
+ 16 < x
2 − 8x
+ 16:
x
2 − 10x
< 0;
x
(x
− 10) < 0;
x
∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :
2x
2 − 18x
+ 16 ≥ 0;
x
2 − 9x
+ 8 ≥ 0;
(x
− 8)(x
− 1) ≥ 0;
x
∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}